ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONI (giorno per giorno):

19/10/2010 (2 ore) - Presentazione del corso: orari, sito web, contatti etc. Modalità d'esame (prova scritta e orale). Notazioni usate, simboli dalla Logica Matematica e dalla Teoria degli insiemi. Esempi di applicazione dell'Analisi Matematica (Achille e la tartaruga, il Problema "dell'area", la Ricerca dei Min. e Max., etc.)

20/10/2010 (2 ore) - Insiemi numerici ed operazioni aritmetiche. Estensione dei numeri (naturali -> interi-> razionali -> reali -> complessi ... ) e motivi/necessità dell'itroduzione di ogni insieme successivo (operazioni interne o esterne all'insieme; rappresentazione di  tutte le possibili lunghezze dei segmenti, delle circonferenze ed altri problemi simili, legati alla geometria; risoluzione esatta delle equazioni algebriche etc.)

21/10/2010 (2 ore) - Rappresentazione dei numeri reali tramite decimali, sviluppi decimali finiti o infiniti, periodici o non-periodici e legame con il tipo di numero rappresentato. Rappresentazioni decimali non-univoche e spiegazione. Insiemi numerabili, ordinabili, etc. Funzioni ed applicazioni tra insiemi numerici (precisazioni su dominio, codominio, argomento e valore, esempi..)
Esercizio: Ö2 non è un numero razionale!

26/10/2010 (2 ore) - Sottoinsiemi di R, maggioranti e minoranti, insiemi limitati. Principio di Archimede => illimitatezza dei numeri naturali e densità dei razionali (insieme Q) in R. Teorema dell'estremo superiore (senza dimostrazione, come un "assioma") e continuità dei numeri reali. Conseguenze ed applicazioni, approssimazione dei reali tramite razionali, con precisione arbitraria, etc.

27/10/2010  (2 ore) - Principio dell'Induzione Matematica: esempi ed esercizi. Successioni numeriche: costanti, monotone (crescenti o decrescenti), limitate, oscillanti, etc. Definizione formale di limite (finito) di una successione. Successioni 1/n (per n>1) e q^n (con |q| < 1).

28/10/2010 (2 ore) - Teoremi sull'aritmetica delle successioni convergenti: somma, differenza, prodoto e quoziente (l'ultimo - senza dimostrazione!) Ogni successione convergente è limitata (ma non viceversa!) Teorema sulle successioni monotone e limitate - convergenza al sup / all'inf dell'insieme dei suoi membri; esempi e controesempi. Successioni definite per ricorrenza, definizioni e dimostrazioni induttive. 
 Esercizio: Ö2 come limite di una successione di numeri razionali. 

02/11/2010 (1 ora + 1 ESERCITAZ.) - Costante di Nepero: introduzione come limite di una successione monotona crescente e limitata superiormente (senza dimostrazione, solo un'idea del metodo usato!). Limite notevole dell'esponenziale e conseguenze. Forme indeterminate: [0/0], [0^0], [¥/¥], [¥-¥], [1^¥] e metodi per la loro risoluzione.

03/11/2010 (2 ore) - Insiemi illimitati (superiormente o inferiormente) ed esempi. Limiti infiniti (Def. formale e alcuni confronti semplici..) Operazioni con le successioni infinite. Sottosuccessioni e proprietà. Punti di accumulazione, Thm di Bolzano-Weierstrass. Costruzione/scelta di una sottosuccessione convergente, unicità del lmite.

04/11/2010 (1 ora  ESERC. + 1 LEZ.) - Confronti asintotici tra successioni, tendenti all'infinito. Binomio di Newton e Disuguaglianza di Bernoulli, Thm/Lemma "dei 2 carabinieri" ed applicazione per ricavare alcuni limiti notevoli con la "Ö n-esima".

09/11/2010 (1 ora  ESERC. + 1 ora LEZ.) - Serie numeriche, Def. di serie convergente o divergente, Esempi (serie geometrica e formula della somma dei suoi membri)

10/11/2010 (2 ore di LEZ.) - Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Serie armonica e divergenza della serie armonica (a +¥). Convergenza assoluta di una serie (=> convergenza "semplice"..) Criteri del rapporto e della radice per la convergenza di una serie a termini positivi.

11/11/2010 (1 ora  ESERC. + 1 ora  LEZ.) - Serie con termini a segno alterno. Criterio di convergenza per le serie a segno alterno (Thm di Leibniz). La serie armonca con i segni alterni ed altri esempi...